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如何通俗的解释泰勒公式？
如何通俗的解释泰勒公式？
（关于泰勒公式小石头这里有两钟不同的解释与大家分享！）
我们知道 √2 作为第一个被发现的无理数， 是不能用 有理分数精确表示的，但是我们可以用 有理分数 来无限逼近：
这就是，所谓的无限（不循环）小数：
这种无限逼近的思想就是后来鼎鼎大名的极限，其在数学中由来已久，比如：用割圆术求π值，而且生活中也经常被大家使用，例如：
将金属物体表明抛光：先用粗颗粒的砂纸打磨，然后用中颗粒砂纸，然是细颗粒，然后是颗粒更细的研磨膏，然后是更更细的，... 这个过程一直进行下去，我们就可以得到越来越光亮的金属表面；称取一斤盐：根据经验先往秤盘里加一斤盐左右的盐，发现多了取出来一些、发现少了再加一些，...这个过程一直进行下去，我们就可以得到越来越接近一斤的盐；对于给定的函数 f(x) ，我们也可以用一个函数的序列 f(x), f(x), f(x), ... 来无限的逼近它，即，
f(x) f(x) f(x) f(x)
接下来，我们需要确定 这个序列！
首先，观察 √2 无限逼近形式 (1)，我们可这样理解：
从 原点 0 出发 ，沿着坐标轴方向，
先用 步距是 1/10 1 的步伐 走 1 步；
再用 步距是 1/101 0.1 的步伐 走 4 步；
再用 步距是 1/102 0.01 的步伐 走 1 步；
....
再用 步距是 1/10 的步伐 走 a_n 步；
....
可见，这里的关键是 越来越小的 步距序列：
1/10 1/101 1/102 1/10
所以，我们要可以逼近 f(x) 就是首先要找到 一个 越来越小的 函数序列。
我们先降低要求，不对 整个 f(x) 逼近，只逼近 x 0 附近的 f(x) 部分，这时我们发现，幂函数 序列：
x , x1, x2 , x3, ..., x, ...
在 x 0 附近 (-1, 1) 是满足 （绝对值）越来越小的 要求的。
于是，仿照 √2 ，令，
则有，
这称为幂级数，最后，要做的事情就是确定幂级数的系数了。
首先，将 x 0 带入 式(2)，立即得到，a f(0) f(0)/0!；
然后，我们对 式(2) 两边求导，有：
再将 x 0 带入 式(2.1)，得到，a f(0) f(0)/1!；
然后，我们对 式(2.1) 两边求导，有：
再将 x 0 带入 式(2.2)，得到，a f(0)/2 f(0)/2!；
然后，我们对 式(2.2) 两边求导，有：
再将 x 0 带入 式(2.3)，得到，a f(0)/32 f(0)/3!；
...
然后，我们对 式(2.n-1) 两边求导，有：
再将 x 0 带入 式(2.3)，得到，a_n f(0)/n(n-1)(n-2)2 f(0)/n!；
...
这样，我们就通过递归的方式，逐一确定了系数，并且最终得到了：
这称为 迈克劳林公式。
利用 迈克劳林公式，指数函数 f(x) e 的 幂级数展开式为：
其，逼近情况如下图：
我们可以看到，随着幂级数项数的增加，在 x 0 附近的，蓝色的 幂级数 越来越逼近 绿色 的指数函数。同时，我们还发现，在 距离 x 0 很远的地方，幂级数项数少的时候，逼近情况并不好，这是 迈克劳林公式的一个局限！
迈克劳林公式的另外一个问题是，有些函数的 导数 在 x 0 处 没有意义，例如：函数 √x 的 导数是 1/2 √x。
为了弥补这两个缺陷，我们考虑 将 逼近中心，从 x 0 移动到 任意 x a，这时，我们每个函数项为：
然后，用与上面的一样的方法（只不过，每次带入 x a），可以求得系数为：
最后，得到：
这就是 泰勒公式。
利用 泰勒公式 就可以 得到 √x 在 x 1 处展开式了：
代入 x2 就可以得到 √2 的另外一种逼近：
综上，我们可以得出 小结论1：
泰勒公式就是 在 x a 点附近 利用幂函数序列 (x - a), (x - a)1, (x - a)2, (x - a)3, ... 来逼近 函数 f(x)。
由《平面解析几何》知，平面上的点和二维向量一一对应，所有这些二维向量组成一个二维向量空间，记为 R2 ，在这些二惟向量中， 单位向量 ε (1, 0)，ε (0, 1) 分别指向 X 轴 和 Y 轴 的正方向。
对于 R2 中任意一个 向量 α (a, a)，都有：
即，
这说明 任意一个 向量 α 都可以用 ε, ε 来表示，我们称 ε, ε 为向量空间 R2 的一组基，称这种表式为 线性表示。
基 ε, ε 和 坐标轴 X, Y 对应，线性表示的系数 a, a 就是 α 的坐标分量， (a, a) 就是 α 在 ε, ε 对应 坐标系 XY 中的 坐标。
类似地，以上模式，对于任意 n 维空间 R 同样适用。我们 只需 令 R 的 基 为：
ε (1, 0, ..., 0)，ε (0, 1, 0, ..., 0), ..., ε_n (0, 0, ..., 1)
则， R 中 任意 n维向量 α ，都可以被线性表示为：
其中，系数 (a, a, ..., a_n) 为 α 在 ε, ε, ..., ε_n 对应坐标系中的 坐标。
不仅如此，我们还可以将有限维向量 α (a, a, ..., a_n) 升级为无限维 α (a, a, ...) ，无限维向量也就是序列，记为 α {a, a, ...}，将全体序列记为 l。定义 无限个元素的基为：
ε {1, 0, ...}， ε {0, 1, 0, ...}, ...
则， l 中 任意序列 α {a, a, ...} ，都可以被线性表示为：
其中，系数 (a, a, ...) 为 α 在 ε, ε, ... 对应无限坐标系中的 坐标。
序列，α {a, a, ...}，其实就是 正整数 Z 到 实数 R 的映射，α: Z → R，其中 Z 中的 正整数 作为 序列下标，任意给定 一个 下标 i ∈ Z 都可以通过 α 得到，序列的第 i 个 数字
考虑将 映射 α 的定义域，由 正整数 Z 变为 实数 R，这样 映射 α 就变成了 我们熟悉的 函数 f: R → R，我们将 区间 [a - b, a b] R 内 满足 一定条件 的全体 函数 组成 函数空间， 记为 L2[a - b, a b]。定义 无限个元素的基为：
ε (x-a), ε (x-a)1, ε (x-a)2, e (x-a)3， ...
则，函数空间 L2[a - b, a b] 中 任意 函数 f(x) 都可以 用 这一组基 来线性表示：
这就是 泰勒公式。
这个一定条件指的是：f(x) 在 区间 [a - b, a b] 内 2 次可 积分，即，
存在。（更准确的定义 必须使用测度论，这里就不引入了！）
当 a 0， b 1 时，空间 L2[-1, 1] 内 任意 函数 f(x) 都可以被 幂函数 基 x, x1, x2, x3, ... 线性表示为：
这就是 泰勒公式的特殊形式 迈克劳林公式。
注意：前面的 指数函数 f(x) e 满足 条件2，所以属于 L2[-1, 1] 于是可以被 迈克劳林公式 表示；而 函数 f(x) √x，在 [-1, 0) 没有定义 所以 不属于 L2[-1, 1] ，但是 它属于 L2[0, 2]，所以才有前面的 泰勒公式 展开。
综上，我们可以得出 小结论2：
泰勒公式，
中的 幂函数 (x-a), (x-a)1, (x-a)2, (x-a)3，... 其实 是 无限维 函数空间 L2[a - b, a b] 的一组基，构成 L2[a - b, a b] 的一个无限坐标系，系数 (a, a, ... ) ，f(x) 在 这个坐标系中的 坐标。
（所谓通俗解释，就是非常个人化的理解，并不是非常严谨，以上仅仅是小石头的理解方式，写在这里起到抛砖引玉的作用，相信头条的各位老师会有更精彩的回答！）
高等数学a1a2有什么区别？
1， A1主要指的是微分，A2主要指的是积分，A3范围大一点：级数、复变函数、矩阵，概率论等等,
2，微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。