特征值的个数与秩有什么关系 为什么二重特征根算出来的对应特征向量只有一个？

特征值的个数与秩有什么关系

为什么二重特征根算出来的对应特征向量只有一个？

为什么二重特征根算出来的对应特征向量只有一个？

肯定是啊，因为当λ-3时，矩阵(λI-A)通过初等变换算的它的秩为2，而未知数的个数是3，意味着关于这个特征值的特征空间向量个数是(3-2)1！

矩阵的秩和特征值之间的关系？

关系：
1、方阵A不满秩等价于A有零特征值。
2、A的秩不小于A的非零特征值的个数。
证明：
定理1：n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
定理2：设A为n阶实对称矩阵，则A必能相似对角化。
定理3：设A为n阶实对称矩阵，矩阵的秩r（A）k，（0ltkltn，k为正整数），则λ0恰为A的n-k重特征值。
定理4：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）k，（0ltkltn，k为正整数），则λ0至少为A的n-k的重特征值。
定理5：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）k，（0ltkltn，k为正整数），且A可相似对角化，则λ0恰为A的n-k重特征值。 　　
定理6：设A为n阶方阵，矩阵的秩rf（A）k，（0ltkltn，k为正整数），且A可对角化，则λ0恰为f（A）的n-k重特征值。
例1：
设矩阵A1 2 3 42 4 6 83 6 9 124 8 12 16 ，求矩阵A的特征值，矩阵A的秩。
解：得到A→1 2 3 40 0 0 00 0 0 00 0 0 0 ，则矩阵A的秩r（A）1。
通过上例，我们发现λ0为A的三重特征值，而A的秩r（A）4-31。下面的定理给出了相应的结论。
证：由定理2，实对称矩阵必能相似对角化，因此A必有n个线性无关的特征向量，即每一个特征值对应一个线性无关的特征向量，重根对应线性无关的特征向量的个数等于其重数[1]，故由秩r（A）k，（0ltkltn，k为正整数），则λ0对应的特征向量恰有n-k个，即λ0恰为A的n-k重特征值。
以上例题和相关定理均给出了矩阵的秩得到矩阵的特征值的情况，反过来，若n阶方阵A恰有k（0ltkltn）个特征值为0，则矩阵A的秩大于等于n-k。
所以，方阵A不满秩等价于A有零特征值，A的秩不小于A的非零特征值的个数。