微分方程求特解的方法
非齐次微分方程的特解有几种方法？
非齐次微分方程的特解有几种方法？
第一步：求特征根
令ar br c0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)-β）。
第二部：通解
1、若r1≠r2，则yC1*e^(r1*x) C2*e^(r2*x)。
2、若r1r2，则y(C1 C2x)*e^(r1*x)。
3、若r1，2α±βi，则ye^(αx)*(C1cosβx C2sinβx)。
分类
一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为y p(x)y0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为y p(x)yQ(x)。
齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。
二元微分方程的特解？
1.二阶常系数齐次线性微分方程解法
一般形式:y” py qy0,特征方程r2 pr q0
特征方程r2 pr q0的两根为r1,r2 微分方程y” py qy0的通解
两个不相等的实根r1,r2 yC1er1x C2er2x
两个相等的实根r1r2 y(C1 C2x)er1x
一对共轭复根r1α iβ,r2α-iβ yeαx(C1cosβx C2sinβx)
02
2.1.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
一般形式: y” py qyf(x)
先求y” py qy0的通解y0(x),再求y” py qyf(x)的一个特解y*(x)
则y(x)y0(x) y*(x)即为微分方程y” py qyf(x)的通解
求y” py qyf(x)特解的方法:
① f(x)Pm(x)eλx型
令y*xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m 1个系数