平面解析几何知识点归纳数形结合
有没有只利用平面几何难以证明，但是借助立体几何却变得容易奏效的平面几何题目？
有没有只利用平面几何难以证明，但是借助立体几何却变得容易奏效的平面几何题目？
众所周知，数学中有许多著名的命题，都是从一些较为基础的分支当中提出的，且形式较为简单，初中水平就能看懂。譬如：费马大定理、代数基本定理等。但是，许多命题的证明花费了几代数学家的努力，并且都应用了较为高级的数学分支，甚至其中一些知识只有大学数学系的本科生或者是研究生才会学到。
譬如，代数基本定理，虽然它是从代数中引入的，但是它的证明或多或少都会牵涉到一些数学分析甚至是复变函数的内容。该命题目前已经有几百种证法，但没有一种是「纯代数」的证明。甚至一些人猜想，它纯粹是一个「披着代数学外衣的分析学命题」。
此外，高中阶段，借助三角函数、向量证明代数命题、借助向量证明关于实数的不等式的案例也有许多。一些只用初等数学方法难以求解的中学题目，借助一些高等数学知识可能会变得较为容易。
类似地，是否也有一些只利用平面几何难以证明，但是借助一些立体几何知识却变得较为容易的有趣的平面几何命题？（圆锥曲线与一般平面曲线除外）
毕竟现行高中课本用向量、解析几何、「数形结合」证明平面几何的案例非常多，但是用立体几何证明平面几何的思路则非常鲜见。
有一个例子，椭圆上的蝴蝶定理。如图1所示，已知AB、CD、EF分别是椭圆的三条弦。弦CD和弦EF都穿过弦AB的中点M，连接ED交AB于点G，连接CF交AB于点H，求证MG MH。这个题目，直接证明非常难，一般的人员基本无法完成证明。那如何证明呢？我们知道，圆上的蝴蝶定理是容易证明的，如图2所示，已知AB、CD、EF分别是圆的三条弦。弦CD和弦EF都穿过弦AB的中点M，连接ED交AB于点G，连接CF交AB于点H，求证MG MH。这个题目的证明比较容易，利用圆角定理和相交弦定理，具备出众平面几何知识的人都能够证明。为了证明椭圆上的蝴蝶定立，采用立体几何的方式进行证明，如图3所示，假定有一个圆柱，圆柱的两端都是圆，以及按圆上蝴蝶定立要求画好的相交弦及要证明相等的线段，再以一平面和圆柱轴线成α角（α≠ 90度 ）相交，则相交面为一椭圆，现在圆柱端面上画好的圆上的蝴蝶定理各条弦以及相对应的线段，以与圆柱轴线平行的方向上投影到刚截取的椭圆面上，则圆上的线段，投影到椭圆面上仍然相等，圆上的弦，投影到椭圆面上仍然是椭圆的弦，该定理轻松证明。
几何学主要研究方法？
中学几何数学是一门比较抽象的学科，包括的空间和数量的关系，数形结合能够帮助学生将两者相互转化，使抽象的知识更便于理解学习。研究中学几何问题的方法主要数形结合、化归思想、变换思想。
1、数形结合法
在中学几何学习中，数形结合的思想具有重要的作用，教师在教学中运用数形结合的思想，能够将几何图形用代数表示，并利用代数解决几何问题。数形几何将几何图形与代数公式紧密结合，利用代数语言将几何问题简化，使学生容易解决问题，是几何教学中的核心思想。例如，研究直线与圆的位置关系，跟进直线与圆的方程找到圆心的坐标，通过圆心到直线的距离d与圆半径之间的大小，来确定直线与圆的位置关系。
2、化归思想
化归思想是书序中普遍的一种思想，在中学几何教学中，教师常常运用这一思想。基本方法就是将几何问题转为代数问题，利用代数只是解决问题后，在返回到几何中。或者在对空间曲面进行研究时，将复杂的空间几何图像转化为学生熟悉的平面曲线，便于学生理解和解决。
3、变换思想
变换思想是将复杂问题简化的一种思想方法，变换思想运用时，一般仅改变数量关系和相关元素位置，为题的结构和性质没有变化。在几何教学中，教师利用变换思想进行变换，实现二次方程的化简，能够通过方程运算准确的将方程所表示的图形展现出来，在降低学生学习难度的同时，也为用计算机研究几何图形性质等提供了依据。